Exp_El+hexágono+ahorra+espacio

__**EL HEXÁGONO AHORRA ESPACIO **__ Un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griego εξάγωνον, de εξά, "seis" y γωνον, "ángulos". Un hexágono regular es un hexágono cuyos ángulos y lados son iguales.



__¿**Cómo construir un hexágono regular con regla y compás?**__


 * 1) Dado un [|punto]//O// cualquiera, trazar una [|circunferencia] cuyo [|radio] sea igual al lado del hexágono a construir;
 * 2) Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un [|diámetro] que cruce //O// y //A//. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como //D//;
 * 3) Apoyando el compás en el punto //A//, trazar un arco que cruce //O//, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como //B// y //F//;
 * 4) Apoyando el compás en el punto //D//, trazar un arco que cruce //O//, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como //C// y //E//;

**[|Construcción de un hexágono regular]**

** ACTIVIDAD 1: Construir un hexágono con regla y compás. **

Si constreñimos un conjunto de círculos, esferas o cilindros tangentes, estos empezarán a competir entre sí por el espacio. Un círculo admite estar rodeado por seis círculos iguales en contacto con él pero, si la presión sigue aumentando, el espacio que queda entre los puntos de tangencia desaparece, dando como resultado un conjunto de hexágonos. Se obtiene así un máximo recubrimiento de la superficie sin dejar espacios, con mínimo material. Es decir, una superpoblación de círculos en competencia por el espacio plano genera hexágonos. El éxito de esta forma hace que los podamos encontrar en multitud de objetos.

Veamos algunos ejemplos:

**__LAS ABEJAS Y LAS MATEMÁTICAS __** Las pequeñas abejas son insectos sociales que viven en sociedades comunales altamente complejas, las cuales incluyen un sistema de división del trabajo según castas o tipos de abejas.

 El cada colmena la abeja reina tiene la función de reproducción y las abejas zánganos (machos) cumplen la función de fertilización de la abeja reina. Por su parte, las abejas obreras son abejas femeninas, cuyas labores incluyen la limpieza, mantenimiento y defensa de la colmena, cuidado de los jóvenes y recolección de néctar y polen. Cada casta de abejas tiene un tiempo o ciclo de desarrollo diferente propio para cada especie y se cría en distintos tipos de celdas.

 Pero no sólo esta característica de las abejas sorprende a los científicos, sino que además las abejas poseen la asombrosa capacidad, programada en sus genes, de optimizar determinadas figuras geométricas.



Dicha optimización matemática fue constatada por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen las abejas a sus celdillas para guardar la miel. Al almacenar la miel, las abejas deben que resolver un serio problema: necesitan guardarla en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, con objeto de aprovechar el espacio al máximo. El matemático Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. De hecho, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, con un número infinito de lados. No obstante, un círculo deja espacios cuando se rodea de otros círculos. Así, de todas las figuras geométricas que cumplen la condición “mayor número de lados y adyacencia sin huecos”, para la matemática es el hexágono la más óptima. **En realidad las abejas fabrican cada celda con forma cilíndrica, como un tubo. El hecho de que las celdas se vuelvan hexagonales se debe a la compresión de cada una contra sus seis vecinas más cercanas.**

** ACTIVIDAD 2: Apretando un puñado de pajitas de refresco, observar que los cilindros se transforman en prismas hexagonales. **

** [|Actividad sobre las celdas hexagonales de las abejas para primaria elaborada por un colegio de Huelva] **

**__POMPAS DE JABÓN__**

El mismo fenómeno que hemos visto en las celdas de las abejas lo encontramos también cuando se amontonan burbujas de jabón. La diferencia es que, en este caso, lo que se comprime son esferas. Una burbuja aislada es perfectamente esférica, pero veamos el aspecto que tienen cuando se pegan unas a otras.

Nuestra ya conocida estructura hexagonal, la encontramos también en los tejidos celulares. Por ejemplo la siguiente imagen representa una sección de una parte sensible de la retina llamada la fóvea. La retina tiene una pequeña mancha de color amarillo, llamada mácula lútea; en su centro se encuentra la fóvea central, la zona del ojo con mayor agudeza visual. En esta zona la resolución de la imagen es máxima, precisamente porque sus células se autoorganizan cubriendo el espacio de forma óptima adoptando un empaquetamiento compacto hexagonal.
 * __CÉLULAS__**

Hasta ahora hemos visto ejemplos del empaquetamiento hexagonal en la naturaleza, sin embargo es evidente que se encuentra también en numerosas construcciones humanas. Esta relación no es casual. En ingeniería es habitual recurrir, incluso de forma inconsciente, a la naturaleza como principal fuente de inspiración para encontrar soluciones sencillas a problemas que parecerían imposibles de superar. Un interesante ejemplo es el espejo primario del GTC (Gran Telescopio de Canarias), que, con sus 10,4 metros de diámetro posee mayor área de recolección de luz que cualquier otro. A 2400 metros sobre la superficie del mar, en una montaña en la isla La Palma, en el Observatorio Roque, es una iniciativa española liderada por el Instituto de Astrofísica de Canarias y la participación de México y Estados Unidos.
 * __OJOS DE INSECTOS Y EL ESPEJO PRIMARIO DEL GTC__**



Al igual que los ojos facetados de los insectos, compuestos por varios miles de lentes hexagonales o facetas, el GTC divide su espejo primario en 36 segmentos hexagonales. En ambos casos cada lente funciona como un píxel, fabricando una imagen de una sola mancha de luz. Gracias a este sistema de concentrar rayos de luz con lentes, el ojo de los artrópodos y los espejos de los telescopios consiguen incrementar su capacidad de visión. Para un insecto cuanto mejor se percibe el entorno más facilidades se tienen para encontrar comida y evitar ser cazado; para un telescopio, una mayor visibilidad equivale a poder observar objetos más tenues y distantes en el Universo y, por lo tanto, a una mayor comprensión del aparatoso mobiliario cósmico.



Precisamente, como las celdas hexagonales de una colmena, el GTC no tiene espacio que perder y mucho material que ahorrar, pero con la diferencia de que no trata de guardar miel, sino de recolectar luz. Gracias al hexágono se ha conseguido que el espejo primario del GTC tenga una perfecta superficie hiperbólica cóncava que, como un recipiente abierto, recoge y concentra toda la luz y la envía al resto de los espejos, secundario y terciario, encargados de conducir la luz de las estrellas a los focos deseados para su estudio.  El hexágono no sólo ha supuesto la mejor solución a la dificultad que suponía construir, manipular y trasladar enormes espejos de un solo bloque y a la vez ahorrar espacio, sino que, sumado a las excepcionales dimensiones del espejo primario del GTC, se ha revelado como la mejor geometría para reflejar el Universo.

[|Vídeo de la colocación del último segmento del espejo primario del GTC]

Y veamos también un vídeo del montaje del espejo: media type="youtube" key="d5uJDfwlnYA" height="390" width="480"

ACTIVIDAD 3 : A continuación tenemos un vídeo donde se construye un hexágono con geogebra. Siguiendo los pasos que se siguen en el vídeo, construye tu propio hexágono en este mismo programa.

media type="file" key="proyecto.wmv" align="center" width="300" height="300"

ACTIVIDAD 4 : Comprueba que se puede teselar el plano con hexágonos:

