Exp_Los+fractales+llenan+continuamente

= = = __Los fractales llenan continuamente __ = =**INTRODUCCIÓN **=

¿Qué son los fractales?
Es complicado dar una definición general de fractales porque muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Es decir que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo, y la dimensión fractal no necesariamente entera. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
 * Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
 * Posee detalle a cualquier escala de observación.
 * Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
 * Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
 * Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

¿Por qué fractales?
La geometría tradicional, la euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. La geometría euclídea también describe los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas.  Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descriptas por la geometría tradicional.  La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza.

<span style="font-family: Georgia,serif;">Diferencias entre la geoemtría euclídea y la fractal :
 * <span style="display: block; font-family: Georgia,serif; text-align: center;">EUCLÍDEA || <span style="display: block; font-family: Georgia,serif; text-align: center;">FRACTAL ||
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Tradicional (más de 2000 años) || <span style="font-family: Georgia,serif;">Moderna (aprox. 10 años) ||
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Dimensión entera || <span style="font-family: Georgia,serif;">Dimensión fractal ||
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Trata objetos hechos por el hombre || <span style="font-family: Georgia,serif;">Apropiada para formas naturales ||
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Descripta por fórmulas || <span style="font-family: Georgia,serif;">Algoritmo recursivo (iteración) ||

<span style="font-family: Georgia,serif;">Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto. Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra <span style="font-family: Georgia,serif;">Construcción de la alfombra de Sierpinski:



<span style="font-family: Georgia,serif;">Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos. <span style="font-family: Georgia,serif;">En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

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= = =<span style="font-family: Georgia,serif;">APLICACIONES =
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Compresión de imágenes: Comprimir la imagen de un objeto autosemejante.


 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Modelado de formas naturales: Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio).

Fracción de un fractal Mandelbrot.
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Sistemas dinámicos: Los fractales no sólo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos.



Un atractor extraño: el Atractor de Lorenz.
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">En manifestaciones artísticas: Se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos.
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Literatura y poesía: Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia.
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Artes gráficas: Con programas informáticos pueden hacer imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias.

Imagen generada con el programa Apophysis.

<span style="font-family: Georgia,serif;">Fractales hechos en el ordenador
<span style="font-family: Georgia,serif;"> Este es una version del fractal denominado "copo de nieve"

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<span style="font-family: Georgia,serif;">

<span style="font-family: Georgia,serif;"> Aqui tenemos otra version de este fractal



Referencia bibliografica: Libro: Los diez mandamientos Autora: Anna Cerasoli En el apartado "Como un copito de nieve", explica de forma amena la definicion de un fractal y la consecución de este fenomeno.

Fractales manipulativos
Ahora vamos a ver un ejemplo de la construccion de un fractal con el uso de papel y tijeras

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Fractales en la naturaleza
Ya hemos visto distintas construcciones de fractales. Pasamos a ver distintas representaciones de fractales en la naturaleza.

Este es un arbol que encontramos en un campo cualquiera:



Este es una ramificacion de un rayo:



Este es un claro ejemplo de fractales en la naturaleza, todos lo conocemos por brocoli:



Aqui observamos un helecho:



Un copo de nieve a tamaño microscopico:



Estas son las ramificaciones de los rios del Amazona, que a su vez forma un fractal:



=<span style="font-family: Georgia,serif; text-align: left;">ACTIVIDADES =
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">¿Cómo [|medir la longitud de la costa]?
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">El [|conjunto de Cantor]
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">La [|poligonal de Koch]
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Traer a clase un fractal hecho con papel y tijeras.
 * <span style="font-family: Georgia,serif;">Realizar en casa un fractal, ya sea con dibujos o usando 2 espejos.

= = = **<span style="font-family: Georgia,serif;">CONCLUSIONES ** =

<span style="font-family: Georgia,serif;">El trabajo con fractales en el aula de secundaria puede ser muy útil para trabajar con los alumnos conceptos geométricos y actitudes adecuadas de trabajo en el aula de matemáticas. Además con el uso de fractales en 3D podemos trabajar el importante paso de las 2D a las 3D. <span style="display: block; font-family: Georgia,serif; text-align: left;"> En la construcción de fractales también está implícita una cierta idea de infinito que puede ir calando en los alumnos. Si bien esta idea que aparece esta ligada a una imposibilidad física, podemos realizar fractales hasta donde nos permita el papel.