Concurso_problemas_solucion

PROBLEMA 1. Y LA SOLUCIÓN ES... NO HAY SOLUCIÓN

No tiene solución porque es un gráfico bipartito con un número impar de vértices y por tanto no admite un circuito hamiltoniano (el que recorre todos los puntos sin pasar dos veces por el mismo y vuelve al punto de partida). Una posible demostración, la que nos propone el profesor Quirós se basa en la técnica llamada coloración de grafos.

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Primero, nos damos cuenta de que las ciudades pueden pintarse con dos colores, por ejemplo, rojo y azul, de forma que los vértices rojos sólo se comuniquen directamente con los azules y los azules con los rojos (que no haya ningún camino entre puntos del mismo color, vamos). Nos quedarán así seis ciudades azules y cinco rojas. Pues bien, si empezamos por una ciudad azul nuestro última etapa será también de ese color... pero entonces no habrá comunicación con el punto de partida (no están enlazados los puntos del mismo color). Pero si empezamos con una ciudad roja (sólo hay cinco) será peor: quedaremos atascados mucho antes de completar el circuito. Pero hay más demostraciones posibles. Entre las respuestas correctas que utilizan otro tipo de argumentos, queremos destacar las que razonan esencialmente así: a cada ciudad llegamos por una carretera y salimos por otra, por tanto hay que usar dos y sólo dos carreteras por ciudad; podemos por tanto borrar dos carreteras (sin especificar cuáles) de las que llegan a cada una de las ciudades 3, 8 y 11 (donde confluyen cuatro), y una de las que llegan a 2 y 4 (ahí llegan tres). Borramos así ocho carreteras en total (como estas ciudades no tienen carreteras en común no hay riego de haber contado una dos veces). Pero esto nos dejaría con sólo diez carreteras, y eso hace imposible completar el circuito de 11 carreteras necesarias para unir los 11 puntos. Ésta, igual que la del profesor Quirós, es una solución sencilla y elegante, es decir, matemática. En cuanto a las soluciones erróneas, además de las que proponían una secuencia númerica (como hemos dicho, no había camino posible), algunos lectores han confundido el problema planteado, que busca "circuitos hamiltonianos", con el más famoso de los Puentes de Königsberg. Pero hay una diferencia: en este último se buscaba un camino que pasara por todos los puntos recorriendo todas y cada una de las carreteras sólo una vez; en el del profesor Quirós no hacía falta recorrerlas todas. En el caso de los Puentes de Königsberg Leonhard Euler dio, en 1735, un criterio sencillo que caracteriza exactamente qué grafos admiten un "camino euleriano": sólo pueden resolverse si coinciden en dos o menos vértices un número impar de líneas. Por el contrario, no se conoce un criterio general que permita decidir fácilmente si un grafo cualquiera tiene o no un circuito hamiltoniano como el que pedimos en el problema, aunque sí se conocen condiciones que nos dicen que cierta clases de grafos admiten, o no, un circuito hamiltoniano.